#সাধারণ_ধারণা :
#অন্বয় : A ও B সেট হলে A×B এর কোন অশূণ্য উপসেটকে A থেকে B তে একটি অন্বয় বলা হয় । অর্থাৎ যদি S, A থেকে B তে একটি অন্বয় হয় তবে,S = {(x,y) ∣ x ∈ A, y ∈ B}
আবার, A×A এর কোন অশূণ্য উপসেটকে A সেটে একটি অন্বয় বলে ।
#অন্বয়ের_ডোমেন_Domain_এবং_রেঞ্জ_Range S এ অন্তর্ভুক্ত ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে S এর ডোমেন এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে S এর রেঞ্জ বলা হয় । S এর ডোমেনকে ডোম S এবং রেঞ্জকে রেঞ্জ S লিখে প্রকাশ করা হয় ।
অর্থাৎ,
ডোম S = {x ∣ x ∈ A, (x,y) ∈ S}
রেঞ্জ S = {y ∣ y ∈ B, (x,y) ∈ S}
#বিপরীত_অন্বয় : S যদি A থেকে B সেটে কোন অন্বয় হয় তবে S এর বিপরীত অন্বয় হচ্ছে B থেকে A সেটে একটি অন্বয় যাকে S দ্বারা প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,
S = {(y,x) ∣ y ∈ B, x ∈ A}
= {(y,x) ∣ (x,y) ∈ S}
#ফাংশন (Function) : ফাংশন হল বিশেষ ধরনের অন্বয় । যদি কোন অন্বয়ে একই প্রথম উপাদানবিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় না থাকে, তবে ঐ অন্বয়কে ফাংশন বলে । অর্থাৎ, A ও B সেট হলে A থেকে B সেটে ফাংশন F হচ্ছে A×B এর এমন একটি উপসেট যেন-
1. প্রতি a ∈ A এর জন্য একটি উপাদান b ∈ B থাকে যেখানে (a,b) ∈ F
2. যদি (a,b) ∈ F হয় এবং (a,b′) ∈ F হয় তবে অবশ্যই b = b′ হবে ।
F, A থেকে B সেটে ফাংশন হলে তাকে F : A→B লিখে প্রকাশ করা হয় । (x,y) ∈ F হলে, y কে F এর অধীনে x এর ছবি (Image) বলা হয় এবং y = F(x) লেখা হয় ।
#ফাংশনের_ডোমেন_রেঞ্জ_ও_কোডোমেন:
F : A→B এর ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে F এর ডোমেন বলে যাকে ডোম F লিখে প্রকাশ করা হয় । অন্য কথায়, A কে F এর ডোমেন বলে।
ডোম F = {x ∣ x ∈ A}
F এর ক্রমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে F এর রেঞ্জ বলে যাকে রেঞ্জ F লিখে প্রকাশ করা হয়। অন্য কথায়, B এর যেসব উপাদান A এর উপাদানসমূহের ছবি হিসেবে পাওয়া যায় তাদের সেট হল রেঞ্জ F ।
রেঞ্জ F = {y ∣ y ∈ B, (x,y) ∈ F}
B এর সকল উপাদানসমূহের সেটকে F এর কো-ডোমেন বলে ।
রেঞ্জ ⊆ কো-ডোমেন
#ফাংশনের_প্রকারভেদ :
1. এক-এক ফাংশন (One-to-one function) : যদি কোন ফাংশনের অধীনে তার ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের ছবি সর্বদা ভিন্ন হয় তবে ফাংশনটিকে এক-এক ফাংশন বলা হয় । অর্থাৎ, f : A→B কে এক-এক ফাংশন বলা হয় । যদি ডোম f এর সব সদস্য x , x এর জন্য f(x ) ≠ f(x ) যখন x ≠ x । অথবা, সব x , x এর জন্য f(x ) = f(x )হলে x = x হয় । অর্থাৎ, ডোম f এর একটি সদস্য কো-ডোমেন সেটের শুধুমাত্র একটি সদস্যের সঙ্গে সম্পর্কিত হলে, f একটি এক-এক ফাংশন ।
2. সর্বগ্রাহী/ সার্বিক ফাংশন (Onto/surfective function) : f : A→B কোন ফাংশনের B সেটের সমস্ত উপাদানই যদি A সেটের উপাদানসমূহের ছবি হিসেবে পাওয়া যায় তবে ঐ ফাংশনটিকে সার্বিক ফাংশন বলে । সাধারণত f এর রেঞ্জ f(A), B সেটের একটি উপসেট হয় অর্থাৎ f(A) ⊂ B হয়; কিন্তু যখন f(A) = B হয় অর্থাৎ, রেঞ্জ = কো-ডোমেন হয় f(A) কে সার্বিক ফাংশন বলা হয় ।
3. প্রতিষঙ্গ ফাংশন (Bijective function) : কোন ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক হলে তাকে প্রতিষঙ্গ ফাংশন বলে ।
4. বিপরীত ফাংশন (Inverse function) : শুধুমাত্র প্রতিষঙ্গ ফাংশনের বিপরীত ফাংশন থাকে । f : A→B কোন প্রতিষঙ্গ ফাংশন হলে f দ্বারা এর বিপরীত ফাংশন প্রকাশ করা হয় যেখানে f : B→A
5. সংযোজিত ফাংশন (Composite functin) : f : A→B এবং g : B→C দুটি ফাংশন হলে, এদের দু’ধরনের সংযোজিত ফাংশন পাওয়া যাবে-
1. gof : A→C যেখানে, gof বা (gof)(x) = g(f(x))
2. fog : C→A যেখানে, fog বা (fog)(x) = f(g(x))
6. অভেদ/অভেদক ফাংশন (Indentity function) : যদি কোন ফাংশন কোন সেটের উপাদানকে একই সেটের ঐ উপাদানের সাথেই সম্পর্কিত করে তবে ফাংশনটিকে অভেদ ফাংশন বলে । অর্থাৎ, A কোন সেট হলে F : A→A একটি অভেদ ফাংশন । দ্রষ্টব্য, অভেদ ফাংশন সব সময়ই এক-এক ফাংশন ।
7. ধ্রুব/ধ্রুবক ফাংশন (Constant function) : যদি কোন ফাংশন f এর অধীনে A সেটের প্রত্যেকটি উপাদানের ছবি B সেটের কেবল একটি উপাদান হয় তবে f কে ধ্রুব ফাংশন বলে । অর্থাৎ, f : A→B তে সব x এর জন্য যেখানে । দ্রষ্টব্য, প্রত্যেক ধ্রুব ফাংশনের রেঞ্জ এক সদস্যবিশিষ্ট একটি সেট ।
8. অযুগ্ম ফাংশন (Odd function) : f(-x)=-f(x) হলে f কে অযুগ্ম ফাংশন বলে ।
9. যুগ্ম ফাংশন (Even funciton) : f(-x)= f(x) হলে f কে যুগ্ম ফাংশন বলে ।
বিভিন্ন ধরনের অন্বয়ের ম্যাপ :
graph থেকে ফাংশন নির্ণয় : কোন অন্বয়ের লেখচিত্রে (graph) y অক্ষের সমান্তরালে অঙ্কিত সকল সরলরেখা যদি চিত্রকে শুধুমাত্র একটি করে বিন্দুতে ছেদ করে তবে সেই অন্বয়টি ফাংশন ।
#graph_থেকে_এক-এক_ফাংশন_নির্ণয় : কোন ফাংশনের লেখচিত্রে x অক্ষের সমান্তরালে অঙ্কিত সকল সরলরেখা যদি চিত্রকে শুধুমাত্র একটি করে বিন্দুতে ছেদ করে তবে সেই ফাংশনটি এক-এক ।
#Exponential_ফাংশন_এর_ডোমেন_ও_রেঞ্জ: f(x) = a আকারের ফাংশনকে exponential ফাংশন বলে যেখানে, a>0 এবং a≠1 । এক্ষেত্রে,
ডোম f = R
রেঞ্জ f = [0,α]
#Logarithmic_ফাংশন_এর_ডোমেন_ও_রেঞ্জ: y=f(x)=log x আকারের ফাংশনকে logarithmic ফাংশন বলে যেখানে, a>0 এবং a≠1 । দ্রষ্টব্য, y = log x হয় যদি ও কেবল যদি x = a হয় । এক্ষেত্রে,
ডোম f = {x ∣ x>0}
রেঞ্জ f = R
#Trigonometric_ফাংশনের_ডোমেন_ও_রেঞ্জ:f(x) = sinx হলে ডোম f = R ; রেঞ্জ f = [-1,1]
f(x) = cosx হলে ডোম f = R ; রেঞ্জ f = [-1,1]
f(x) = tanx হলে ডোম f = R -{±(2n-1)(π/2) ∣ x ∈ N} ; রেঞ্জ f = R
f(x) = secx হলে ডোম f = R -{±(2n-1)(π/2) ∣ x ∈ N} ; রেঞ্জ f = (-α,-1]⋃[1,α)
f(x) = cotx হলে ডোম f = R -{±(n-1)π ∣ n ∈ N} ; রেঞ্জ f = R
f(x) = cosecx হলে ডোম f = R -{±(n-1)π ∣ n ∈ N} ; রেঞ্জ f = (-α,-1]⋃[1,α)
#গানিতিক_উদাহরণ_ও_সমাধান :
1. f : N→N নিচের কোন ফাংশনগুলো এক-এক, সার্বিক অথবা উভয়ই তা নির্ণয় কর-
a. f(x) = 3
b. f(x) = x+1
c. f(x) = x +1
d. f(x) = x
a. f(x )=f(x ) হলে যদি x =x হয় তবে f এক-এক ফাংশন ।
এখন, f(1) = 3; f(2) = 3 কিন্তু 1≠2
∴ f এক-এক নয় ।
আবার, f : N→N । ∴ f এর ডোমেন N এবং কো-ডোমেন N । কোন ফাংশনের রেঞ্জ = কো-ডোমেন ফলে ফাংশনটি সার্বিক । এক্ষেত্রে, সকল x ∈ N এর জন্য f(x) = 3 । ∴ রেঞ্জ ≠ কো-ডোমেন ।
∴ f সার্বিক নয় ।
b. এখানে, f(x ) = x +1 এবং f(x ) = x +1 । যদি f(x ) = f(x ) হয় তবে,
x +1 = x +1 ⇒ x =x
∴ f এক-এক ।
ধরি, x ∈ ডোম f যেন f(x ) = 1 ।
∴ x +1 = 1 ⇒ x = 0 কিন্তু 0 ∈ N ।
∴ f সার্বিক নয় ।
c. এখানে, f(x ) = x +1 ও f(x ) = x +1 । যদি f(x ) = f(x ) হয় তবে
x +1 = x +1 ⇒ x = x ⇒ x = ±x
∴ f এক-এক নয় ।
আবার, ধরি x ∈ ডোম f যেন, f(x)=1
∴ x +1 = 1 ⇒ x = 0 কিন্তু 0 ∈ N
∴ f সার্বিক নয় ।
d. এখানে, f(x ) = x ও f(x ) = x যদি হয় তবে,
x = x ⇒ x = x
∴ f এক-এক
ধরি, x ∈ ডোম f যেন, f(x) = 0
∴ x = 0 ⇒ x = 0 কিন্তু 0 ∈ N
∴ f সার্বিক নয় ।
2. নিচের ফাংশনগুলোর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ।
a. f(x) = (2x-3)/(x-2)
b. f(x) = (x -1)/(x-1)
c. f(x) = √(x+4)
d. f(x) = √(x -4)
e. f(x) = √(16-x )
f. f(x) = 2 sinx
g. f(x) = 1/x
h. f(x) = x/(∣x∣)
i. f(x) = x/(x -1)
j. f(x) = log (x -36)
a. x এর যেসকল মানের জন্য f(x)এর বাস্তব মান পাওয়া যায় x এর সেসকল মানই ডোম fএর সদস্য ।x=2 হলে,
f(x) = (2x-3)/(x-2) = (2×2-3)/(2-2) = 1/0 = অসংজ্ঞায়িত ।
∴ ডোম f = R-{2}
মনে করি, y = (2x-3)/(x-2)
⇒ xy-2y = 2y-3
⇒ xy-2x = 2y-3
⇒ x(y-2) = 2y-3
⇒ x = (2y-3)/(y-2)
y=2 হলে, x = (2(2)-3) / (2-2) অসংজ্ঞায়িত ।
∴ রেঞ্জ f = R -{2}
Short-cut : f(x) = (ax+b)/(cx+d) আকৃতির ফাংশনের ক্ষেত্রে রেঞ্জ f = R -{a/c}
b. x=1 এর জন্য f(x) অসংজ্ঞায়িত ।
∴ ডোম f = R -{1}
মনে করি, y = (x -1)/(x-1) = {(x+1)(x-1)}/(x-1) = x+1
⇒ y = x+1
⇒ x = y-1
এখন, y=2 হলে, x = y-1 = 2-1 = 1 কিন্তু 1 ∉ ডোম f । ∴ ∉ রেঞ্জ f ।
∴ রেঞ্জ f = R -{2}
c. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি x+4≥0 হয় ।
⇒ x≥-4 হয় ।
∴ ডোম f = [0,α)
সকল, x≥-4 এর জন্য f(x)≥0 [কোন সংখ্যার বর্গমূল ঋণাত্মক হতে পারে না । লক্ষণীয়, √25=5 কিন্তু x =25 হলে x = ±√(25) = ±5]
∴ রেঞ্জ f = [0,α)
d. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি x -4≥0 হয় ।
⇒ (x+2)(x-2)≥0 ...
(i)ব্যবধি (x+2) এর চিহ্ন (x-2) এর চিহ্ন (x+2)(x-2)এর চিহ্ন
x≤-2 --
+
-2<x<2 + -
x≥2 + + +
(i) সত্য হবে যদি x<-2 অথবা x>2 হয় ।
[see ex. II example 5 for details]
∴ ডোম f = {x ∣ x<-2 অথবা x>2}
= (-α,-2]u[2,α)
সকল x ∈ ডোম f এর জন্য f(x) ≥ 0
∴ রেঞ্জ f = [0,α) [দ্রষ্টব্য, f(x) = √(a-x ) আকার ব্যতীত সকল square root ফাংশনের রেঞ্জ [0,α) ]
#Short-cut :
i. x -a≥0 ⇒ x ≥a আকারের অসমতার সমাধান : x≤-√a অথবা x ≥ √a
ii. x -a≤0 ⇒ x ≤a আকারের অসমতার সমাধান : -√a≤x≤√a
e. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি 16-x ≥0 হয় ।
⇒ x ≤16
⇒ -4≤x≤4 [see example 2(d) short-cut ii.]
∴ ডোম f = [-4,4]
সকল ∈ ডোম f এর জন্য 0≤f(x)≤4
∴ রেঞ্জ f = [0,4] [দ্রষ্টব্য, f(x) = √(a-x ) আকারের সকল square root ফাংশনের রেঞ্জ : [0,√a] ]
f. সকল এর জন্য f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় ।
∴ ডোম f = R [সকল f(x) = sinx এর ডোমেন : R ]
সকল x ∈ ডোম f এর জন্য -2≤f(x)≤2
∴ রেঞ্জ f = [-2,2] [সকল f(x) = sinx এর রেঞ্জ [-1,1] । এক্ষেত্রে, f(x) = 2sinx হওয়ায় রেঞ্জ [-2,2] ]
g. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি x≠0 হয় । [x=0 হলে f(x) = 1/x = 1/0 = অসংজ্ঞায়িত]
∴ ডোম f = R -{0}
মনে করি, y = f(x) = 1/x ⇒ x = 1/y । y=0 হলে x অসংজ্ঞায়িত ।
∴ রেঞ্জ f = R -{0}
h. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি IxI≠0 হয় ।
⇒ x ≠ 0হয় ।
∴ ডোম f = R -{0}
x>0 এর জন্য f(x) = x/(∣x∣) = x/x = 1
x<0 এর জন্য f(x) = x/(∣x∣) = x/-x = -1
∴ সকল x ∈ ডোম f এর জন্য f(x) = 1 অথবা -1
∴ রেঞ্জ f = {-1,1}
i. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি x -1 ≠ 0 হয়
⇒ x ≠ 1
⇒ x ≠ ±1 হয় ।
∴ ডোম f = R -{-1,1}
মনে করি, y = f(x) = x/(x -1)
⇒ x -1 = x/y
⇒ (x -1)/x = 1/y
এখন, y=0 হলে, (x -1)/x = অসংজ্ঞায়িত
⇒ x = অসংজ্ঞায়িত ।
কিন্তু, ডোম f ⊂ R । ∴ 0 ∈ রেঞ্জ ।
∴ রেঞ্জ f = R -{0}
j. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি x -36>0 হয় ।
⇒ x >36
⇒ x<-6 অথবা x>6 হয় ।
∴ ডোম f = [-α,-6)⋃[6,α)
∴ রেঞ্জ f = R [সকল Logrithmic ফাংশন এর রেঞ্জ R ]
3. f : R → R ফাংশনটি f(x) =
দ্বারা প্রকাশিত । f(2), f(6), f(0) নির্ণয় কর ।
f(2) = 2 -3(2) [কেননা x≥2 হলে f(x)=x -3x]
= -2
f(6) = 6 -3(6) = 18
f(0) = 0+2 [কেননা x<2 হলে f(x)=x+2]
= 2
4. f(x) = x +3x+1; g(x) = 2x-3 হলে-
a. (fog)(x)
b. (gof)(x)
c. (fof)(x)
d. (fog)(2) নির্ণয় কর ।
a. (fog)(x) = f(g(x)) = f(2x-3) = (2x-3) +3(2x-3)+1 = 4x -6x+1
b. (gof)(x) = g(f(x)) = g(x +3x+1) = 2(x +3x+1)-3 = 2x +6x-1
c. (fof)(x) = f(f(x)) = f(x +3x+1) = (x +3x+1) +3(x +3x+1)+1 = x +6x +14x +15x+5
d. (fog)(x) = 4x -6x+1
(fog)(2) = 4(2) -6(2)+1 = 5
5. f : R → R কোন ফাংশন হলে f (x) নির্ণয় কর যেখানে-
a. f(x) = 2x+3
b. f(x) = (2+3x)/(3-2x)
a. ধরি, y = f(x) = 2x+3 [∵ y=f(x) ⇒ x=f (y)]
⇒ 2x = y-3
⇒ x = (y-3)/2
⇒ f (y) = (y-3)/2
∴ f (x) = (x-3)/2
Short-cut : f(x) = ax+b হলে f (x) = (x-b)/a
b. ধরি, y = f(x) = (2x+3)/(3-2x)
[∵ y=f(x) ⇒ x=f (y)]
⇒ 3y-2xy = 2+3x
⇒ 3x-2xy = 2-3y
⇒ x(3-2y) = 2-3y
⇒ x = (2-3y)/(3-2y)
⇒ f (y) = (2-3y)/(3-2y)
∴ f (y) = (2-3y)/(3-2y)
Short-cut : f(x) = (ax+b)/(cx+d) হলে f (x) = (-dx+b)/(cx-a)
